Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

Bài viết hôm nay, tienganhthanhcong.com sẽ giới thiệu đến quý bạn đọc công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cực chi tiết. Các bạn dành thời gian chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học tốt hơn nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

Bạn đang xem: Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

Hai đường thẳng trong không gian gồm 4 vị trí tương đối là cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau như sau:

  • Khi hai đường thằng song song hoặc trùng nhau thì góc hai đường thẳng bằng 0o
  • Khi hai đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 góc đối đỉnh hay còn gọi là 4 góc. Lúc này ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng
  • Khi hai đường thẳng chéo nhau, ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Từ đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Chính vì vậy, hai đường thẳng mới này cắt nhau và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã được cho (Chú ý việc chọn điểm không ảnh hưởng đến số đo của góc).

2. Góc giữa hai mặt phẳng là gì?

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:

  • Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
  • Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

II. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN

1. Công thức tính

– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

 

Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Trục Ox có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Cosin góc giữa d và Ox là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ: 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 , sao cho cosin góc giữa d và Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là 0 khi t= 0.

Khi đó; M( 1; 2; – 2) và Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Vậy phương trình đường thẳng d là: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Bài 1:

Cho đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

A. m= 1

B.m= – 1

C. m= – 2

D. m= -1 hoặc m= -7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Theo giả thiết ta có: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn D.

Bài 2:

Cho đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng (ABC): Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 .

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 .

=> Sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn A.

Bài 3:

Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 .

=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn C.

Bài 4:

Cho đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

A. m= 2

B. m = – 4

C. m= (- 1)/2

D. m= 1

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn C.

Bài 5:

Cho đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 ?

A. m= ± 1

B.m= ± 2

C. m= 0

D. m= ± 3

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Theo giả thiết ta có:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn A.

Bài 6:

Tính góc giữa Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

A. 30o

B. 45o

C. 60o

D. 90o

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Cosin góc giữa d và d’ là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> góc giữa d và d’ bằng 90o.

Chọn D.

Bài 7:

Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 nên sin góc giữa d và (P) là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn A.

Bài 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C.Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

+ Vì d// (P) nên hai vecto ud và n→ vuông góc với nhau.

=> ud.n→= 0 ⇔ 2a- b- c= 0 ⇔ c= 2a- b

+ Cosin góc tạo bởi đường thẳng d và Δ là:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

=> cosin góc tạo bởi hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỉ nhất là 0 khi 5a- 4b= 0

Chọn a= 4 => b= 5 và c= 3

+ Đường thẳng d đi qua điểm A (1; -1; 2) và nhận vecto Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d: Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn C.

Bài 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5

A. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

B.Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

C. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

D. Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Bài 10:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)

B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)

C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)

D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)

Gọi giao điểm của đường thẳng d và trục Oy là M( 0; m;0)

Trục Oy có vectơ chỉ phương là Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12 .

Góc giữa đường thẳng d và trục Oy là 45o nên ta có:

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Toán lớp 12

Chọn D.

Vậy là tienganhthanhcong.com đã giới thiệu đến các bạn công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cực chi tiết. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm công thức tính góc giữa hai vectơ tại đường link này bạn nhé !

Đăng bởi: tienganhthanhcong.com

Chuyên mục: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc trường tienganhthanhcong.com. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường tienganhthanhcong.com (thptsoctrang.edu.vn)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *